Hàm Chebyshev thứ hai ψ(x) là hàm tổng của hàm von Mangoldt:[7]

ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log ⁡ p = ∑ n ≤ x Λ ( n )   . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}

Hàm được giới thiệu bởi Pafnuty Chebyshev, nhà toán học này dùng nó để chứng minh bậc của hàm đếm số nguyên tố π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} là x / log ⁡ x {\displaystyle x/\log x} . Von Mangoldt đưa ra bài chứng minh chặt chẽ cho một công thức cụ thể cho ψ(x) bao gồm tổng trên các trên không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann. Nội dung này đóng vai trò quan trọng trong bài chứng minh đầu tiên cho định lý số nguyên tố.

Ta có thể tìm biến đổi Mellin của hàm Chebyshev bằng cách áp dụng công thức Perron:

ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}

đẳng thức chỉ đúng khi Re(s) > 1.